جامعة العق د الحاج لخضر - باتنة كل ة العلوم اإلقتصاد ة والتجار ة وعلوم التس ر قسم التس ر I دروس وتطب قات مق اس الر اض ات للسنة األولى تس ر السداس األول من إعداد األساتذة: د. د. أ. بركات الخ ر بوض اف نع مة مخلوف ساس ة أ. شطوح كر مة أ. أ. أ. حدوش وردة بن جاب هللا الطاهر الواف هشام السنة الجامع ة: -- 03 04
الفهرس العام 03 الفصل األول: الدوال ذات متغ ر حق ق... ص سلسلة التطب قات... ص 3 33 الفصل الثان : الدوال ذات عدة متغ رات... ص سلسلة التطب قات... 3 ص 4 43 الفصل الثالث: التفاضل والتكامل... ص سلسلة التطب قات... 4 ص 6 63 الفصل الرابع: المعادالت التفاضل ة... ص سلسلة التطب قات... 5 ص 7 7 الفصل الخامس: المتتال ات والسالسل العدد ة... ص سلسلة التطب قات... 6 ص 8...03-0 ص 83 إمتحان األول السداس -...03-0 ص 84 امتحان تصح ح األول السداس -
ا فص األ ي اندوال ذاث متغير حميمي النها ات واالستمرار اإلشتقاق دراسة الدوال األس ة واللوغار تم ة النشر المحدود 3
الدوال ذات متغ ر حق ق عموم ات على الدوال التطب ق المعرف من I نحو R عثازج ع عاللح ذستط ت ١ ع اصس R I تح ١ ث و ع صس I ص زج ح ١ دج ف. R - - تعر ف: الدالة ƒ بمتغ ر حق ق ه عبارة عن تطب ق من مجال ( R ) I نحو R نرمز لمجموعة الدوال المعرفة من I نحو R بالرمز (,R F ) )هذا عن أن: ) ƒ :I R D ƒ = } x R / ƒ(x) { : المجموعة D ƒ ه مجال تعر ف الدالة ƒ ح ث معرفة ƒ: R R من أجل مثال: D = R * ƒ / x ƒ(x) = x ƒ: R R : من أجل D ƒ = ], + [ / x ƒ(x) = x C ƒ = { x, f x / x ε D ƒ } المجموعة C ƒ ه ب ان الدالة ƒ ح ١ ث : مثال : ƒ: من أجل R R x ƒ(x) = x + C ƒ 4
- عالقة الترت ب g, ƒϵ F ( I, R ) x I, ƒ x g(x) إذا كان ƒ g تعر ف: نقول أن تمر ن : أوجد مجال تعر ف الدوال التال ة: ƒ x = 3 x + 5 x 6, ƒ x = ƒ 3 x = x + 3 3 x + 4 x + 9, الحل : Dƒ =], + [, Dƒ =], + [, Dƒ 3 =] 3, + [ 3- الدوال الفرد ة والدوال الزوج ة : لتكن ) R ƒϵ F ( I, نقول أن x Dƒ, ƒ x = ƒ x دالة زوج ة هذا عن أن: ƒ ومنه ب ان ƒ متناظر بالنسبة للمستق م (oy) x Dƒ, ƒ x = ƒ x دالة فرد ة وهذا عن أن: ƒ ومنه ب ان الدالة ƒ متناظر بالنسبة لنقطة المبدأ 0 4- الدوال الدور ة : تعر ف : ( > 0) ƒ : لتكن ) R ƒϵ F (R, نقول أن دور ة ودورها إذا كان : 5
x R, ƒ x + = ƒ x = π مثال: الدوال sin x و cos x ه عبارة عن دوال دور ة دورها كل دالة ثابتة فه دالة دور ة 5- الدوال المحدودة: تعر ف : لتكن ) R ƒϵ F ( I, نقول أن ƒ محدودة من األعلى على I إذا كان : M M R / x I, ƒ x نقول أن ƒ محدودة من األسفل على I إذا كان : m m R / x I, ƒ x نقول عن ƒ أنها محدودة على I إذا كان: m, M R, x I, m ƒ x M 6- عمل ات على الدوال : لتكن R) g F I, R, ƒ F(I, لد نا: g ƒ x = g[f(x)] ƒ + g x = f x + g x إذا كان : 0 x f ƒ. g x = f x. g x f x = f x إذا كان لد نا f(i) I R فإن: )a )b )c )d f :R R g :R + R x f x = x + Dƒ = R : مثال : من أجل x g x = x, Dg = [0, + [ لد نا: + [ [0, = g f Df =, + D إذن: + g ƒ x = g f x = g x + = x 6
7-- الدوال الرت بة: تعر ف: لتكن R) f F(I, نقول أن : متزا دة على I ف R إذا كان : y x, y I, x y f x f متناقصة على I ف R إذا كان: x, y I, x y f y f x متزا دة تماماعلى I ف R إذا كان : y x, y I, x y f x < f متناقصة تماما على I ف R إذا كان: x, y I, x y f y f x f f f f النها ات واالستمرار: - النها ات: نقول أن f تقبل نها ة l عند النقطة a إذا بح ث من أجل كل x من I العالقة تعر ف: لتكن f F I, R, a I R و( R (l كان من أجل عدد > 0 ε وجد عدد حق ق > 0 δ x a δ تستلزم f x l ε أي ε > 0 δ > 0, x I; x a δ f x l ε f(x) l x a ف حالة وجود النها ة فه وح دة وتكتب lim x a f x = l = lim a f أو مالحظة: إذا كانت f معرفة عند a و كانت النها ة موجودة إذن: C f lim f x = f(a) x a l + E l l E a عند نها ة f a δ a a + δ 7
D f =],, + [ f: R R x f x = x +x x : مثال: لتكن نبحث عن نها ة الدالة f من أجل = x لد نا: x + x = (x )(x + ) : من أجل x لد نا f x = x + x x = (x )(x + ) x = x + f x 3 = x + 3 = x ε > 0, δ = ε > 0 x D f : x δ f x 3 = x ε ومنه نستنتج أن: lim x f x = 3 تعر ف : تعر ف النها ة من ال م ن والنها ة من ال سار لتكن R) f F(I, نقول أن f تقبل نها ة من ال سار عند x 0 إذا وفقط إذا تحقق ما ل : ε > 0, n ε > 0, x 0 n ε < x < x 0 f x l d ε lim x x 0 + f x = l d lim x x 0 x>x 0 ونكتب: f x = l d أو نقول أن f تقبل نها ة من ال م ن عند x 0 إذا وفقط إذا تحقق ما ل : ε > 0, n ε > 0, x 0 < x < x 0 + n ε f x l g ε 8
lim x x 0 f x = l g lim x x 0 x<x 0 ونكتب: f x = l g أو l d C f l g x 0 مالحظة: limx x 0 x>x 0 f x = limx x 0 x<x 0 f x = l إذا كانت R) f F(I\ a, و إذن: نقول أن f تقبل نها ة l عند a النها ات الغ ر المنته ة تعر ف من أجل كل عدد حق ق a ε R و ± = l لد نا : / lim x a f x = + A > 0, δ > 0, x ε I : x a δ f x A ) / lim x a f x = ( B < 0, δ > 0, x ε I): x a δ f x B لد نا : تعر ف من أجل ± = a و ± = l. lim f x = + ( A > 0, x + A > 0, x ε I x A f x A. lim f x = B < 0, x + A > 0, x ε I x A f x B 9
3. lim x f x = + ( A > 0, B < 0, x ε I x B f x A ) 4. lim x f x = ( B < 0, B < 0, x ε I: x B f x B ) -- عمل ات على النها ات: إذا كان: lim x a f x = l و lim x a g(x) = l lim x a f x + g(x) = l + l lim x a f x. g(x) = l. l 0 l و 0 g إذن: إذن: إذا كان: lim x a f(x) g(x) = l l مثال: ) ) )3 lim x 0 sim x x = f x = sin x x إذا كانت إذن lim x 0 ln (+x) x = g x = ln (+x) x إذا كانت إذن إذن = 3 g(x) lim x 0 f x + lim x 0 f x. g(x) = lim x 0 f(x) g(x) = -- حاالت عدم التع ن: ف حساب النها ات نعرف حالة عدم التع ن ( الت نرمز لها بالرمز ح.ع.ت ) وكل وضع ة تقودنا إلى حالة أ ن نستخدم كل العمل ات على النها ات وال نجد النها ة. بعض حاالت عدم التع ن المتداولة والمهمة ه : 0 0, ± ±, 0, +,, 0 0, 0, 0, مثال: إذا كان lim g x و = 0 lim f x إذن = 0 g x = x و f x = sin x x 0 x 0 0
0 0 lim x 0 f(x) g(x) = lim x 0 sin x x نقول أن ه حالة عدم التع ن من الشكل lim x 0 f(x) g(x) و تم تحد دها باإلشتقاق - االستمرار: تعر ف: x 0 I I لتكن f دالة حق ق ة معرفة على مجال و نقول أن f مستمرة عند x 0 إذا وفقط إذا تحقق ما ل : lim x x 0 f x = f x 0 ε > 0, n ε > 0; x x 0 n ε f x f(x 0 ε نقول أن f مستمرة من ال م ن عند x 0 إذا وفقط إذا تحقق ما ل : limx x 0 x>x 0 f x = f(x 0 ) x a, b نقول أن f مستمرة من ال سار عند x 0 إذا وفقط إذا تحقق ما ل : lim f x = f(x x x 0 0 ) x<x 0 نقول أن f مستمرة على مجال, b إذا كانت مستمرة على كل نقطة ومستمرة على م ن a ومستمرة على سار. b x 0 مالحظة: إذا كانت الدالة مستمرة من م ن ومن سار x 0 إذن f مستمرة عند f x = تمر ن برهن أن الدالة fالمعرفة كما ل : e x si x < 0 x 3x x + si x 0 مستمرة عند 0 x 0 - - عمل ات على الدوال المستمرة إذا كانت : f و g دوال مستمرة عند x 0 اذن : / f g + و.f g ه عبارة عن دوال مستمرة عند
f / إذا كان 0 0, g x اذن مستمرة عند x 0 g / 3 إذا كانت f مستمرة عند x 0 و g مستمرة عند ) 0 f ( x اذن : مستمرة عند x 0 gο f مثال : / الدوال كث رات الحدود ه عبارة عن دوال مستمرة على R / الدوال المثلث ة ه عبارة عن دوال مستمرة على مجال تعر فها. R ف x إذا كان : x f x = sin من اجل x 0 لد نا: و sin x sin x 0= sin( x x 0 ) cos(x + x 0 ومن جهة أخرى لد نا ) sin x sin x 0 sin x x 0 x x 0 x x 0 x R, sin x x cos x + x 0. sin x x 0 ε > 0, n = ε; x x 0 n sin x sin x 0 ε إذن: إذن نستنتج أن الدالة sin x ه مستمرة على R التمد د باإلستمرار: الدالة g المعرفة تعر ف: إذا كانت f دالة معرفة على مجال I\ x 0 و lim x x0 f x = l g x = f x si x x 0 كما ل : ه تمد د ل باستمرار. f l si x = x 0 مثال: لتكن g دالة معرفة كما ل : sin x g x = x si x 0 si x = 0 sin x f x = ب: المعرفة على \R 0 f ه تمد د باالستمرار للدالة g x -- نظر ة الق م المتوسطة: لنظر ة الق م المتوسطة أشكال عد دة من أهمها نظر ة بولزانو الت تنص على ما ل :
f a. f b < 0 a, b نظر ة: إذا كانت f دالة مستمرة على مجال محدود f c بح ث = 0 c a, b وكان الجداء إذن توجد نقطة مثال: لتكن المعادلة = 0 + 3x f x = x 3 + x + لد نا: 3 79 f) ( = و f ) ( 4 64 = R دالة مستمرة على f إذ : f( ( f ) 3 4 ( < 0 c ε ]. 3 4 بتطب ق نظر ة الق م المتوسطة وجد] f c = 0 ], 3 4 إذن c هو تقر ب كل المعادلة = 0 x f على المجال [ 3 4 - = 4 بدقة 5% الن = 0,5 _- 4 الدوال العكس ة تذك ر لتكن f دالة معرفة على المجال I نقول أن: متزا دة تماما f(y) x, yεi ; x < y f(x) < متناقصة تماما f(x) x, yεi ; x < y f(y) < f f مالحظة: من R إذا كانت f مستمرة و متزا دة تماما على [b,a] x ε[a,b], a x b f a f x f b بح ث: f(a) هو الحد األدنى ل f(x) a = m و( f(b مثل الحد األقصى ل (x) f b = M f 3
[ f a, f (b)] إذن[ = m, M = f [ a, b بنفس الطر قة إذا كانت f مستمرة ومتناقصة تماما على [b,a] من R لد نا b]) [f b, f a ] = m, M = f ([a, [a, b] نظر ة إذا كانت f دالة مستمرة ومتزا دة تماما ( متناقصة تماما ) على مجال. ( [f b, f (a)]) [f a, f(b)] نحو [a, b] إذن f دالة تقابل ة على على التوال نستنتج أن : إذا كانت,a]) b ],m] ([M مستمرة ومتزا دة تماما )متناقصة تماما( من fدالة f تقبل دالة عكس ة تقابل ة ترمز لها بالرمز f معرفة f [m, M] [a, b] y f y = x 4_- ب ان الدالة العكس ة ب ان الدالة مثال: f متناظر مع ب ان الدالة (y = x) بالنسبة للمستق م f [ π, π الدالة العكس ة للدالة f x = sin x على المجال ] )x) ه الدالة = arc sin x f ه عبارة عن دالة مستمرة ومتزا دة تماما على [, ] sin x : [ π, π ] لد نا: ] [, Arc sin x : [, ] [ π, π ] 4
y = sin x x = arc sin y π x π y a) f x = c) f x = x + 4 x 3 + x + x x, b) g x = x(x ), d) g x = 6 x بعض التمار ن التدع م ة التمر ن : ع ن مجال تعر ف الدوال التال ة التمر ن : احسب نها ات الدوال التال ة : a) lim x 0 = (x + ) x, b) lim x 3 x 3 7x + 6 x + x 3 x 3x + c) lim x + x + x 6, d) lim x 0 3 9 + x x e) lim x π sin ²x + cos x, f) lim x 0 cos x cos x sinx 5
التمر ن 3: : لتكن f دالة معرفة كما ل f x = sin x x si x < 0 (x + c) si x > 0 أوجد c بح ث تكون f(x) lim 0 x موجودة ماه ق مة النها ة التمر ن 4: باستخدام تعر ف النها ة برهن أن: = 3 7 + 4x lim x x a) f x = x x التمر ن 5: ك ف نعرف f(a) بح ث تكون الدالة f مستمرة عند a, a = b) f x = x + si x < a = x + 3 si x > c) f x = cos x sin x, a = 0 التمر ن 6: برهن أن المعادالت التال ة تقبل على األقل حل حق ق : a) f x = cos x x + = 0 b) x 3 3x + 5x 7 = 0 c) + sin x x = 0 التمر ن 7: : لتكن f a( دالة معرفة كما ل f x = x si x 0 x si x < 0 أدرس استمرار ة الدالة f b( نفس السؤال من أجل الدالة 6
f x = e x a si x < a 0 si x a بح ث + R a 5- الدالة المشتقة والتفس ر الهندس للمشتق: -5- االشتقاق: تعر ف: x 0 I لتكن f دالة معرفة على مجال I و lim x x0 f x f(x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) : نقول أن f قابلة لإلشتقاق عند النقطة x 0 إذا كان x 0 0 نقول عن ) 0 f (x العدد المشتق للدالة f عند أو مشتق f ف النقطة مالحظات:. وضع x = x 0 + إذن: f x 0 + f(x 0 ) x x 0 0 et lim = f (x 0 0 ) : x 0 إذا كانت f قابلة لإلشتقاق ف النقطة إذن. ε() 0 0 مع f x 0 + f(x 0 ) = f x 0 + ε() ولد نا: f x 0 = lim 0 f x 0 + f(x 0 ) ε() 0 0 وإذا كان: ε() 0 0 x 0 lim f x 0 + f(x 0 ) = f (x 0 0 ) قض ة: إذا كانت f قابلة لإلشتقاق عند النقطة x 0 إذن f مستمرة عند 7
نقطت ن من الب ان f M(a +, (a + )) عكس هذه القض ة غ ر صح ح على العموم. -5- التفس ر الهندس للمشتق: و على التوال معامل توج ه من أجل 0 النقطة M f a+ f(a) لتكن( A(a, f a المستق م( AM ) هو f مثل إذن مماس للب ان (AM) ومعامل توج ه هو : تؤول نحو النقطة A والمستق م f a + f(a) lim = f (a) 0 f(a+h) C(f) f(a) p T a a+h نعرف إذن معادلة المماس T ومعامل توج هه هو f (a)) للب ان C(f) ف النقطة :) a هذا المماس مر على النقطة ) a A(a, f ب: f(a) y = f a x a + --5- المشتق من ال م ن والمشتق من ال سار: تعر ف: lim < f x f(x 0 ) x x 0 نقول أن f قابلة لإلشتقاق من ال سار عند x 0 إذا كانت: موجودة ونكتب: x x 0 lim < x x 0 f x f(x 0 ) x x 0 = f g (x 0 ) 8
lim > x x 0 f x f(x 0 ) x x 0 بنفس الطر قة نقول أن f وتكتب: قابلة لإلشتقاق من ال م ن إذا كانت موجودة lim > x x 0 f x f(x 0 ) x x 0 = f d (x 0 ) نقول أن f دالة قابلة لإلشتقاق على ]a,b[ إذا كانت f قابلة لإلشتقاق على كل نقطة x a, b و f قابلة لإلشتقاق على سار b وقابلة لالشتقاق على م ن. a قابلة لإلشتقاق من ال م ن وال سار وإذا كان ) 0 f g x 0 = f d (x مالحظة : إذا كانت f لإلشتقاق عند إذن نقول أن f قابلة x 0 --5- عمل ات على المشتقات: : g و لتكن f دوال حق ق ة قابلة لإلشتقاق على I و k ثابت حق ق لد نا المشتق الدالة f + g k. f f. g f f g f + g kf fg + g f f f fg g f g قابلة لالشتقاق على I قابلة لالشتقاق على I قابلة لالشتقاق على I قابلة لالشتقاق على I إذا كان 0 f على I قابلة لالشتقاق على I إذا كان 0 g على I 3--5- الدوال المألوفة: f(x) k = cte مجال قابل ة االشتقاق الدالة المشتقة (x) f 0 R 9
x p (p Z) x q (q Q + ) sin x px p q x q cos x R si p > 0 R si p < 0 R + R cos x sin x R tan x arc sin arc cos arc tan x e x cos ²x x x + x e x R { π + κπ, κ ε Z} I =], [ I =], [ R R ln x s x = ex e x c x = ex + e x tx = sx cx = ex e x + x c x s x c x R + R R R 0
4--5 مشتق الدالة المركبة تعر ف: : لتكن f و g دوال معرفة كما ل f I J g K R, J K إذا كانت الدالة f قابلة لالشتقاق عند النقطة x 0 I وإذا كانت الدالة g قابلة لالشتقاق عند النقطة, y 0 = f x 0 εj إذن : f g ο قابلة لالشتقاق عند النقطة x 0 ولد نا : gοf x 0 = g f x 0 f (x 0 ) مثال : f, f x = cos 3 x دالة قابلة لالشتقاق على R و لد نا / f x = 3 cos x ( sin x) = 3 sin x cos x / ) f, f x = cos (x + دالة قابلة لالشتقاق ولد نا f x = x ( sin(x + )) = x sin(x + ) R دالة قابلة لالشتقاق على f, f x = e x + / 3 ولد نا: f x = x e x + : مشتق الدالة العكس ة 5--5 f دالتها العكس ة لتكن [a,b] دالة معرفة مستمرة ورت بة تماما على f و إذا كان f دالة قابلة لالشتقاق عند x 0 و 0 0 f x إذن : y قابلة لالتقاق عند f 0 = f (x 0 ) / / لد نا : f = f οf
f y 0 = f (f y ) مثال : / x arc sin ه دالة تقابل ة قابلة لالشتقاق من arc sinx = x [و π, π,[ الى arc tan x = و +x ] π arc tan x ه دالة تقابل ة قابلة لالشتقاق على R إلى, π [ 6--5 مشتق الدوال من الرتب العال ة : / f إذا كانت. f لتكن fدالة قابلة لالشتقاق على I f و مشتقتها ه قابلة لالشتقاق على Iمشتقتها ه نقول أن f ه المشتق الثان ل f بصفة عامة المشتق حتى الدرجة n ل f هو مشتق من الرتبة n وهو معرف بالعالقة التراجع ة التال ة : f (n) = f n, n 0, f (0) = f مثال: من اجل sin n x = sin x + nπ nε N وR xلد نا ε f x = sinx f x = cosx = sin(x + π ) f n x = sin (x + n π ) / من اجل كل cos n x = cos x + nπ n ε N و x εr لد نا 6 -استخدامات المشتقات: -6 التقعر و التحدب :
تعر ف : : لتكن f دالة حق ق ة معرفة على مجال نقول ان f دالة محدبة هذا عن ان x, yεi, t ε 0, ; f tx + t y tf x + t f(y) y التفس ر الهندس للتحدب tf x + t f(y) f(y) N Q f(tx + t y) M f(x) p x tx + t y y x خصائص: لتكن f دالة معرفة على مجال حق ق I القضا ا التال ة متكافئة ) الدالة fمحدبة على I ( x, y, zεi, x < y < z f y f x y x f z f x z x )( f z f(y) z y ) من اجل كل x 0 εi التطب ق المعروف ب application pente en x 0 3( : معرفة على } 0 I {x ب x f x f(x 0) x x 0 3
هو عبارة عن تطب ق متزا د ) 4( x, y, z εi 3 : x < y < z x y z f(x) f(y) f(z) 0 قاعدة l hôpital) (règle de لوب طال لتكن gوf دالتان معرفتان مستمرتان وقابلتان لالشتقاق بجوار نقطة x 0 اذن lim x x 0 lim x x 0 f (x) f x f(x 0 ) g = l lim (x) x x 0 g x g(x 0 ) = l f (x) g (x) = lim x x 0 f x f(x 0 ) g x 0 g(x 0 ) = إذا كانت (x) lim x x0 f غ ر موجودة ال نستط ع استنتاج النها ة g (x) مثال: 0 0 0 x lim )ه عبارة عن حالة عدم التع ن من الشكل sin x x x 3 f x = sinx x f 0 = 0 g x = x 3 g 0 = 0 f x f(0) sinx x = g x g(0) x 3 f x = cosx et g x = 3x f (x) lim x 0 g (x) = lim cosx x 0 3x نطبق قاعدة لوب طال للمر ة الثان ة نجد : f x = cos x f 0 = 0 g x = 3x g 0 = 0 4
f x = sinx et g x = 6x ولد نا: cos x lim = x 0 6 6 lim sinx = x 0 6 6 lim x 0 cosx 3x = 6 lim x 0 sin x x x = 6 تمر ن : أحسب النها ات التال ة : () lim x ± x + x+ x+3 lim x ± x + x + ax( ثابت حق ق a) (3) lim x x 3 x 4 lim x π cosx tgx (5) lim x a (a x ) tg ( πx a ) الدالة اللوغار تم ة : تعر ف: نعرف اللوغار تم الن ب ري ونرمز له بالرمز ln الدالة الوح دة المعرفة على ] +,0[ نحو x ε ]0, + [, (ln x) = x, ln = 0 بح ث: R خصائص : الدالة ln ه عبارة عن دالة مستمرة ومتزا دة تماما على المجال ] +,0[ باالضافة الى 5
/ من اجل كل y,x عدد ن موجب ن تماما لد نا : a) ln xy = lnx + ln y b) ln x = ln x c) ln x y = lnx ln y d) ln x α = αlnx / من اجل: > 0 x lnx x, 3/ لد نا بعض النها ات المتداولة : a) lim ln x =, lim ln x = + x 0 x + ln + x b) lim x + x = 0, lim x 0 ln + x x = c) ln x lim x + x = 0+; > 0 d) lim x 0 ln + x x =, lim x 0 = x ln (+ x) = e) lim x 0 x ln x = 0; > 0 تعر ف : ل كن + [, ]0, ε a اللوغار تم ذو األساس a 6
التطب ق المعرف على ] +,0[ ب : x > 0, log a x = ln (x) ln (a) حساب مرونة "تابع" E = dln f x dlnx : دالة و E f مرونة التابع فا ن E = f x. x f x ومنه : )المرونة = النسبة ب ن التغ ر النسب للتابع و التغ ر النسب للمتحول ) مثال x = اوجد )احسب ) مرونة التكال ف بالنسبة لإلنتاج عندما تكون كم ة اإلنتاج إذا كانت دالة التكال ف ه : 0 + 7x y = f x = x 3 x + لد نا : x = E = y x y = 8/ الدالة األس ة : تعر ف : الدالة األس ة ذات األساس a > 0 a ه معرفة كما ل : f: R R 7
x y = f x = a x xln (a) = e : هذه الدالة عبارة عن دالة مستمرة على R ومشتقتها كما ل a x = e xln a = ln a e xln (a) = ln a a x حالة خاصة الدالة األس ة ذات األساس e خصائص : e 0 = x ε R, ln e x = x x ε R +, e ln (x) = x x, y ε R, e x+y = e x e y x, y ε R, e x y = e x e y x ε Z, (e x ) x = e x e x = e x (e u x ) = u x e u(x) بعض النها ات المعروفة : e x lim = x 0 x 8
lim x + ex = + lim x ex = 0 lim x e x = + ; α Z xα قض ة : من اجل كل عدد ن حق ق ن c و b لد نا : b = x b+c = x b x c, (x b ) c = x bc si x > 0 إذا كان > 0 x و > 0 y لد نا: (xy) c = x c y c إذا كان > 0 x لد نا: x c = x c قض ة : / lim x α = x + 0 si α < 0 si α = 0 + si α > 0 9
/ lim x 0 x α = + si α < 0 si α = 0 0 si α > 0 النشر المحدود : تعر ف:, I x 0 ولتكن x 0 مجال منR و I حوي f دالة معرفة على I او ل كن x 0 ε R I {x 0 } بجوار x 0 n ). لتكنN غ ر معرفة عند x 0 (f n ε تقول أن f تقبل نشر محدود من الرتبة ε: I R أعداد حق ق ة و x 0 إذا وجد,a,, a n بح ث : x ε D, f x = a 0 + a x x 0 + a,, +a n x x 0 n + (x x 0 ) n ε ( ) مع = 0 x lim x x0 ε من اجل معدوم نتحصل على نشر "ماك لوران" x 0 مثال: e x x 0 n x n n=0 + 0(x n ) x! 30
n cos(x) x 0 = n=0 n x n n! + 0 xn+ n n=0 3 sin x x 0= x x n + n+! + 0 x n+ n n+ 4 + x x 0 = n= x n+ + 0 x n n! حاالت خاصة: لد نا: 0 n + n! = C n = n + n! = k إذن: n = k + x x 0 n=0 x k + 0 x k ونستنتج أ ضا : n = x k x x 0 n= 0 + 0 x k 3
ر ا م ت ان ت و هىو انت يير ت وانت هيت ال هىوا لت ان ه هت ي ث ممي ش انر LMD ت ون f x = x x -. f x = x 3x 4 f x = x -4 + x ر : ع ١ عح ذ س ٠ ا د اي ا را ١ ح : - f x = ln (lnx) -3 lim x0 x x x x. lim x 0 - e x x lim x x 4-3 - ر : حعة ا ا ٠ اخ ا را ١ ح : x 0 ر 3: زض اظر ساز ا ر ات ا را ١ ح ع د ف و حا ح : x 0 = 0 f x = +x x x 0 x x = 0 -a f ا سفح تا ى ا را : f x = x x. x = x = ا دا ح -b ذمث ذ د ٠ دا تا ظر ساز ع د x f ( x ) 3. x.cos x -4 f ( x ) x x -3 f ( x ) x sin x ر 4: حعة رماخ ا ر ات ا را ١ ح : - f(x)= cosx - +cos ر 5: تئظر اي لاعدج ت ١ اي احعة ا ا ٠ اخ ا را ١ ح : lim x + (e x x lnx) - +e x lim x + ( ) x - ر 6: ع ١ ا م ١ ا حس ح رات ا را ا رثس س ا سذثح ا ا ١ ح ر ١١ ا ا ٠ اخ ا ا ص س : 4 3 Y x 36x 8x 7 حعة ا رك ف و ا د اي ا ١ ح ا را ١ ح : 4 3 5x y x y 0 3 3x x log y 0 :7.. ر Y sin x - Y x 3 - n ف ١ ا ٠ : ر 8: حعة ا رمح ا سذثح ت از وراتح تال سا. ا سذثح n x 0 f x = x 3 ر 9:. س ا رات س ا رات f x = sin x ت از ا صفس ا سذثح n. 3
ا فص ا ا اندوال ذاث دة مت ى ث مفاه م عامة المشتقات الجزئ ة من المرتبة األولى المشتقات الجزئ ة من المرتبة الثان ة تفاضل الدوال ذات عدة متحوالت الق م الحد ة للدوال ذات عدة متحوالت 33
الدوال ذات عدة متغ رات مفاه م عامة : R n R n تعر ف :.R نسم دالة ذات عدة متغ رات حق ق ة كل دالة معرفة من جزء E من أو كل ف f(m) : صورة نقطة M ذات اإلحداث ات ) n (x, x,..., x ) n f(x, x,..., x أي : ه عدد حق ق نرمز له ب أو f E R n R (x, x,..., x n ) f(x, x,..., x n ) R f R R مثال : R n x, y f x, y = x +y تعر ف : مجموعة تعر ف دالة ه مجموعة العناصر ) n (x, x,..., x فعل ة وفق f و نرمز لها ب: ( f D ه جزء من R n أو R n كلها (. من الت لها صورة D f f R R - مثال : y x, فإن : xy x +y D f = R 0,0 f R R - ) x, y (x + y فإن : D f = x, y R / x + y النها ات و االستمرار :.M 0 M 0 = (x 0, x 0,, x n 0 ) M 0 تعر ف : نسم : لتكن f معرفة بجوار ربما غ ر معرفة عند عند.M 0 f إن وجدت بنها ة lim (x,x,...,x n ) (x 0,x 0,,x n 0 ) f x, x,..., x n مثال: 34
فإن : f x, y = x + y sin xy lim (x,y) (0,0) f x, y = 0 : تعر ف : مستمرة عند x 0 نقول أن إذا كانت.M 0 = (x 0, x 0,, x 0 n ) معرفة عند f-.lim (x,x,...,x n ) (x 0,x 0,,x 0 n ) f x, x,..., x n = f(x 0, x 0,, x 0 n )- مثال : (x 0, y 0 ) = (0,0) f x, y = x + y sin xy si x, y 0,0 0 si x, y = 0,0 : معرفة عند )0,0( و لد نا f - x + y x + y sin xy x + y lim x,y (0,0) x + y lim x,y (0,0) f x, y lim x,y (0,0) + x + y lim x,y (0,0) f x, y = 0 = f 0,0. 0,0 إذن f مستمرة عند المشتقات الجزئ ة: Z = f,x y فإن المشتقات الجزئ ة من إذا كان - المشتقات الجزئ ة من الرتبة األولى : المرتبة االولى ه : f. f x x, y = Z x = Z و y x, y = Z y = Z y x Z إذا كان Z = f x, y, t فإن المشتقات الجزئ ة ل من المرتبة االولى ه :. Z t = Z t Z y = Z y Z x = Z x مثال : Z = x 3 3xy فإن : - 35
Z y = Z y = 6xy و Z x = Z x =3x 3y Z = x e t + xcosy فإن : - Z y = Z و y = xsiny Z x = Z x = xe t + cosy. Z t = Z t = x e t ه Z x - المشتقات الجزئ ة من الرتبة الثان ة : ل كن Z = f,x y قابال للتفاضل فإن أ ضا قابلة للتفاضل و نحصل على المشتقة الجزئ ة من الرتبة الثان ة كما ل : y Z x = Z y x و x Z x = Z x : Z y و ا ضا إذا كان قابال للتفاضل نحصل على y Z y = Z و y x Z y = Z x y. Z x y = Z y x : إذا كان التابع f و مشتقاته مستمرة فإن ف الحالة العامة المساواة غ ر صح حة. مثال : Z = x 3 3xy فإن : x Z y = Z x y و 6y = y Z x = Z y x = 6y التفاضل الكل : العبارة : d x Z =d x f x, y = Z x تسمى تفاضل التابع Z = f x, y بالنسبة للمتغ ر : x و نسم : dy d y Z =d y f x, y = Z y بتفاضل التابع Z = f x, y بالنسبة للمتغ ر : y و منه نحصل على التفاضل الكل ل : Z حسب العبارة التال ة :. dz = Z x + Z y dy = Z x + Z y dy مثال : Z = x 3 3xy فإن : 36
dz = Z x + Z y dy = 3x 3y + ( 6xy)dy المشتق الكل : إذا كان Z = f,x y و كانت x و y تتعلقان بمتغ ر و ل كن t أي : (t) x = g و (t) y = فإن المشتق الكل ل Z كتب بالشكل التال : Z = Z x. dt + Z y. dy dt = Z x. x + Z y. y مثال :.y = cost ح ث x = sin و Z = xy + x Z = Z x. dt + Z y. dy dt = y +. cost x. sint فإن : الدوال المحدبة و الدوال المقعرة : : E.R n تعر ف : لتكن E مجموعة جزئ ة من تكون مجموعة محدبة إذا كان x, y E, [0,], x + y E. R n f تعر ف : دالة معرفة على مجموعة E محدبة من - f دالة محدبة (convexe) على E إذا كان من اجل كل [0,] و من اجل كل x, y E كون : f( x + y f x + f(y) إذا كانت المتراجحة اقل تماما )> ) نقول أن f محدبة تماما. - f دالة مقعرة (concave) على E إذا كان : f( x + y f x + f(y) x, y E, [0,] إذا كانت المتراجحة اكبر تماما )< ) نقول أن f مقعرة تماما. مالحظة : f x, y = 0 - إذا كانت الدالة f للتابع محدبة فإن النقطة الت تحقق تع ن نقطة حد ة صغرى = 0 y,x تع ن نقطة حد ة عظمى للتابع ) f x, y = f x,y x f x,y y (.f - إذا كانت الدالة f مقعرة فإن النقطة الت تحقق.f أمثل ة الدوال المتعددة المتغ رات )الق م الحد ة للدوال المتعددة المتغ رات( : 37
تعر ف: نقول عن التابع Z = f,x y أنه أخذ ق مة عظمى محل ة Z من اجل الق م (y,x) إذا كان تغ ر ق مة أي واحد من المتغ رات جعل ق مة الدالة Z أقل من ق متها Z و بنفس الطر قة نعرف النها ة المحل ة الصغرى للتابع. الشرط الالزم و الكاف لوجود النها ة المحل ة ( العظمى و الصغرى ) : : تقبل نها ة محل ة ف النقطة ) a(a, a إذا تحقق Z = f x, y a تع ن. Z Z = 0 - a a = و سمى بشرط المرتبة األولى x y - شرط المرتبة الثان ة : Z y a > 0 Z x a > 0 إذا كان : و و كان نقول أن Z a. Z a x y a - Z x y Z y a < 0 a. Z y x a >0 نها ة محل ة صغرى. Z x a < 0 إذا كان : و و كان نقول أن تع ن نها ة محل ة عظمى Z a. Z a x y - Z x y a. Z y x a >0. Z a. Z a x y Z x y a. Z y x Z a < 0 مالحظة : سرج أما إذا كان إذا كان نسم النقطة بنقطة فإن االختبار غ ر حاسم Z a. Z a x y Z x y a. y x a = 0. مالحظة : مكن كتابة الشروط السابقة بالص غة التال ة : Z = f x, y إذا تحقق : اي تكون a نها ة محل ة للتابع Z y a = 0. Z أي = 0 a x و ( Hessienne) H f (a) = Z x (a) Z x y (a) Z(a)= Z y x (a) Z y (a) Z x (a) Z y (a) = 0 إذا كان و و نقول أن a det H f a tr H f a = Z x a + Z y a > 0 = Z a. Z a Z a. Z (a) > 0 x y y x x y تع ن نها ة محل ة صغرى. ) ) 38
نقول أن a < 0 a tr H f و > 0 (a)) det(h f تع ن نها ة محل ة عظمى. مثال : Z لد نا : و (x, y) R Z = 3 x3 + xy + y Z x = x + y = 0 Z y = x + y = 0 (0,0) فنحصل على النقاط الحرجة التال ة :.(, و ) 4 tr H f, 4 = 3 > 0 و منه : و منه و H f x, y = x H f, 4 = > 0 =, f det H اذن ), ( تع ن نها ة محل ة صغرى. 4 4 det H tr H و منه H f 0,0 = 0 f 0,0 = و f 0,0 = > 0 < 0 اذن (0,0) نقطة سرج. Z = x + y + t xy xt لد نا : : مثال : نأخذ التابع Z x = x y + t = 0 Z y = y x = 0 فنحصل على النقاط الحرجة Z t = t + x = 0 = 0,0,0 a و منه : H f x, y, t = Z x Z x y Z x t Z y x Z y Z y t Z t x Z t y Z t = 0 0 = H f 0,0,0 لنحسب : 39
det λ λ 0 0 λ = λ λ = 0 = + λ و = 3. λ بما أن > 0 i λ من اجل قبل نها ة حد ة صغرى عند النقطة 0,0,0 و ه صغرى كل ة. فنحصل على = λ =,,3 i فإن التابع و Z a Z i مالحظة : إذا كانت < 0 i λ ه عظمى كل ة. من اجل كل فإن التابع قبل نها ة حد ة عظمى عند النقطة و النها ات الحد ة المق دة بق ود التساوي )مضاعف الغرانج )(Lagrange) : g x, y = 0 إذا كانت الدالة Z = f x, y خاضعة للق د فإنه مكن كتابة المسألة بالشكل : L x, y, λ = f x, y + λg(x, y) و تسمى الدالة L,x,y λ بدالة الغرانج ح ث f,x y تسمى بدالة الهدف و (y g(x, هو الق د الذي وضع مساو ا للصفر و بالتال اضافة = 0 y λg,x ال تغ ر من ق مة دالة الهدف. مثال: : لتكن المسألة Z = xy تحت الق د x y = تع ن الق م الحد ة و ب ان نوع كل منها, لد نا : y) L x, y, λ = xy + λ( x + و منه : L x = y λ = 0 L y = xy + λ = 0 L λ = x + y = 0 و منه نحصل على نقطت ن حرجت ن هما : ),0,0( و ( 4,,.) 3 3 9 اختبار النقطت ن الحرجت ن و لذلك جب حساب : = λ H L x, y, و منه : L x L x y L x λ L y x L y L y λ L λ x L λ y L λ = 0 y y x 0 40
det (H L (,0,0)) = det إذن النقطة ),0,0( تع ن 0 det (H L (,, 4 )) = det 3 3 9 إذن النقطة 0 0 0 0 = < 0 نها ة حد ة صغرى للمسألة و = 0.min xy 4 3 4 3 3 = > 0 0. max xy = 4 ) 4,, ( تع ن نها ة حد ة عظمى للمسألة و 7 3 3 9 النها ات الحد ة المق دة بق ود التبا ن : نظر ة : ( شروط كون تاكر ) ( Tucker )Karush, Kuhn et إذا كان التابع Z = f x, y الخاضع للق ود 0 y g i x, ح ث i =,, m قابلة كلها لالشتقاق باستمرار فإن الشرط الالزم حتى تكون ) 0 x) 0, y نها ة حد ة حسب (K.K.T) هو : وجد 0 i i =,, m λ تسم مضاعفات الغرانج بح ث : K. K. T m f x 0, y 0 + i= λ i g i x 0, y 0 = 0 λ i g i x 0, y 0 = 0, i =,, m إذا كان f و g i محدبة فإن الشروط السابقة تكون الزمة و كاف ة ل ) 0 x) 0, y ) 0 (x 0, y نقطة حد ة كل ة. حتى تكون : مثال: حل المسألة التال ة أي أن 0 3 + y g x, y = x min Z = x + 3y تحت الق د x y 3 و منه : K. K. T x + λ = 0 3 λ = 0 λ(x y + 3) = 0 فنحصل على و.3 = λ و ذلك من اجل min(x + 3y) = 0 x 0 = y 0 = 3 : 4
م ت ان ميد ان ا ر هيت ال هىو ا لت ت وانت ت و هىو انت يير ممي ش انر ي ث ت ون LMD ان ه هت 3. Z xy x y t *.4 Z y t x x y t.3 ر : حعة ا رفا ا ى ر ات ا را ١ ح : Z xy t. Z yx y.. Z Z x y xy Z x y. Z Z 6xy x y. x x y تس : 3 Z xy xe y x تس : xy Z x y تفس : تفس : *.. ر :.. حعة ا رماخ ا ى ١ ح ر ات ا را ١ ح : Z x y / x cos t, y sin t Z x / x e, y e y t t.. ر 3: Z ر 4: زض ا ا ٠ اخ ا ح ١ ح ( ا ا ٠ اخ ا حد ٠ ح ) رات حعة ل ١ ر ع د ر ا ما :. Z x x xy y y 5 8 6 4 7. Z x 4y x 4y 3. Z x 3xy 5x y. Z = e x +y * *...3.4 : Z ر 5: تاظر اي ا ح سا ع ١ ا م ١ ا حد ٠ ح ر ات ا را ١ ح حعة ل ١ ح. S.C x y 3 Z x y xy x y *. Z = x + y 3 S. C x y =. م ح ت: األظ ح ا ر ع ١ ا * ذرسن ثح. 4
ا فص ا ا ث انتك مم وانتف م التفاضل التكامل 43
م انتف f x = y Δy = lim x 0 = dy Δx إذا وا ا رات f(x): y = فا رك را ا رات : ذفا ا رح ي را dy = f x. ٠ ح ١ ث dy ذفا ا رات م ف I. ي بع ا إ حاص دا ء رك را ا رات ف ذفا ا رح ي ا ر ك ت. اي : ذفا ا رات x y = x +... dy = (x + ) : ف م بع انت بع: ١ ى ا رات y = f u ح ١ ث u = g x y x رك ا رات y تا عثح ي = f u. u : x u x y x ت سب ا سف ١ ف d x حص ع : u = f u. u x. dy = f u u. du : ىاص انتف م: d u + v + w = du + dv + dw ) d u. v = v. du + u. dv ) )3 du d c. u = c. ح ١ ث c اتد v ح ١ ث 0 d u v = vdu udv ح ١ ث,u,v w ذ ات لات ح فا ح تا عثح ر ١ س ا x انتف ث ان تت نيت: ١ ى ا رفا : y dy = ح ١ ث رثس ا d x اترا ا ر ١ از ٠ ا ف ١ ا حعاتاخ. فئذا فا ا را ا رسو ١ ة حص ا ع ا رفا ا ا س ص ب : d²y d dy = y d²y = y.. = y. ² ىرا فئ d 3 y = y. 3 d n y = y (n) n اي: د ا رفا ا سذثح ا ا ح رات + x y = x 4 فئ : 3 d 3 y = 48x. م ح ت : ² =. و ١ ح ست ح ت ١ ا d²y ز ص. v² )4.II.III.IV 44
انتك مم د ا رات ذات رم -انت بع ا صهي: زظ ا ظاتما و ١ ا ىع ١ ح و ١ ف ١ ح إ ٠ ا ذىا ا ع رك ذات ذات. فس أذ ا ٢ دزاظح ا عأ ح ر ف : ا رات األص رات f(x) ذ ه ا رات F(x) ا ر رم ٠ عا ا رات ا f(x) :.f(x) تا رات األص F(x) ٠ ع F x = f(x) اي : ا ا رات األص رات y = x x² x = x² ىرا فئ ا رات األص رات = y إ ا الحظ را الحظ, x² ذ ات ص ١ ح رات, x² x² ١ ط ح ١ دا ف د ال : 3 + 3, + c ت ى عا ٠ ى ا ىرة y = x x² ح ١ ث c اتد و ١ ف ىرا فئ ى ذات عر س ٠ د ا ٠ ح ا ر ات األص ١ ح ا ر ذخر ع ت ا ا ث ض ت مداز اتد ا ر ١ از فئذا وا F(x) احد ا فئ عح ا ر ات األص ١ ح F(x)+c f x ح ١ ث ٠ ى حمما : F (x)=f(x) F(x) + c = انتك مم غير ان د ر ف : ع ع ١ ح ا ثحث ع ا رات األص تا ىا ح ١ س ا حد ج. ا ا ثازج ا ر ذ ا رات األص f(x) فرع ا رىا ١ س ا حد رات f(x) س ص ا ت f x. ع f(x) ا رات ا ىا ا x ف ١ ع ر ١ سا ىا ح ىرة : c f x = F x + ان د انتك مم انتك مم ان د حعاب ا عاحح ا حص زج ذحد ا ح y=f(x) ع د ا ٠ ى اي ذ ١ س x ا ا ح ص ثح دا حر اءخ ا رىا ا حد ا 45.a x b مد تم ١ د عأ ح حعاب ا عاحح ا حص زج
ز ٠ ا ا ر ح ر ا ى ح. فئذا وا ا ب حعاب ا عاحح ا حص زج ت ١ ا ح ز األفم ox ا عرمx=b ١ ١ x=a ا ح ا ر ا ر y=f(x) فئ ا مع ا اي,a b ت د ا مط x i إ عد x ا ا خ ا صئ ١ ح تح ١ ث : x 0 = a < x < < x i < x i+ < < x n = b إذا حعث ا ا ٢ ع عاحاخ ا عر ١ الخ ا ث ١ ح ف ا ى حص ا ع ل ١ ح ذمس ٠ ث ١ ح عاحح S عد فئذا اش ا مط ا رمع ١ إ ا ا ٠ ح تح ١ ث ٠ ر ي اي صئ إ ا صفس ا ر ع دئر ع عاحاخ ا عر ١ الخ إ ا ٠ ح حد ج. فئ ر ا ا ٠ ح ذ ا عاحح ا تح ثس ع ذ ه تا ى : n S = y i x i+ x i = i=0 S = lim x i 0 n i=0 n i=0 f x i. x i تأ ر ا ٠ ح ا ع ع د ا x i 0 د: f x i. x i ذ س ٠ : ع ا ا ٠ ح S ) إ دخ( ا رىا ا حد رات f(x) a إ b ثس ع ذ ه تا ى I = b f x a = lim x i 0 n i=0 f x i. x i ع b, a حد ا رىا األ األع ع ا رسذ ١ ة. 46
5 3 x. = x² 3 5 = 5 حعة ا رىا = 8 9 مث ل: ىاص انتك مم ان د إذا وا g(x),f(x) ا ر ١ عر سذ ١ ف اي ا ر ١١ س a x b فئ : b. f(x). = a a a b. f(x). = a f(x). b 0 3. f(x). = f x. + a a b a c b f(x). c b a, c a, b 4. αf x ± βg x. = α f x. ± β g x. إذا وا 5. f x 0, x a, b b فئ 0 f x. a إذا وا 6. f x g(x), x a, b b a 7. f x. b a b a فئ f x. g x. b a f x., a<b إذا وا 8. m f x M, x a, b b a فئ : a) m(b a) f x. M(b b a ح ١ ث α β اترا c f x. = F x + ٠ مس ا سف األ ٠ عس انتك مم غير ان د : ورث ا ف ا عاتك : ف ا سف ا ا ا اتد c ا ا رىا ١ س ا حد رفا ٠ ع f x. ا د ت اتد ا رىا. F x + c إذا ع ١ ا ا رفا الح ح : إذا ع ١ ا ا رك فئ y = f x فئ ذات األص y = f x. = F x + c فئ ذىا : انتك م ث انشهيرة : ) x n. = x n + n+ ) ax + b n. = 3) = log x + c x + c, n \ n ax +b n + a n+ + c, a 0, n \ n 47
4) e x. = e x + c 5) a x. = ax 6) x² 7) x² loga + c \a > 0 = arcsin x + c = arccos x + c 8) = arctg x + c +x² 9) = args x + c +x 0) = argc x + c x² ) = ax +b a ax + b + c ) +x log x² x + c 3) sin x. = cos x + c, cos x. = sin x + c 4) = tg x + c, = cotg x + c cos ² x sin ² x 5) ch x. = sh x + c, sh x. = ch x + c 6) = t x + c, = log x + a + c ch ² x x+a 7) sin x d cos x tg x. = = = log cos x + c 8) ctg x. = 9) x = x + c cos x cos x sin x 0) = log tg x + c sin x ) = log tg x + π cos x 4 cos x = d sin x sin x + c = log sin x + c ىاص انتك م ث غير ان دو ة : : : ٠ ى إ ساج عا اتد ذحد إ ازج ا رىا تا ىط ذر ١ س ا ر ١ ح Af x. = A f x., ح ١ ث A اتد. ذىا ا ع ا ثس دج ذ ات ٠ عا ا ع ا ثس رىا الخ ر ا ر ات.. f x ± g(x). = f x. ± g x. : ا تك ل في ان مت انطرق ظرى اي ذات ع ١ ا ف ا ثدا ٠ ح س ص ١ ر فست ا وا ٠ رما رات فئ وا األ س ور ه اظر ر ا ذات األص إ فئ ا ر د ع ت ض ا سق ا ر ذس ا رىا ا فس ذىا س ف 48
غيير ان ت ىل "انتك مم ب نت ى ض" ر ا سق ا را :. طر مت حعاب ا رىا I = f x. س ذح ٠ ال اظثا ر ١ س ا ر ذر ا ىا ح تا عثح ف x = φ t ح ١ ث φ t ذات عر س لات ال رماق ع دئر : dt = φ t. تا ر ٠ ض ف ا رىا د I = f x. = f φ t. φ t. dt.x ب φ t ت د إ ٠ ا ا رىا اي ( ): حعة ا رىا I = 3 5x dt = 5d = dt 5 تفس t=5x- إذ I = 3 5 log t + c = 3 log 5x + c, log = ln 5 اي : حعة ا رىا I = x². ت ا ٠ ى x ذر ا ش ر ه ٠ ى فس t = arc sin x x = sin t = cos t. dt I = sin t. cos t. dt = cos t. cos t. dt = cos² t. dt = + cos t = t + sin t arc sin x sin t cos t. + c = + + c 4 = arc sin x + x x² + c dt. طر مت انتك مم ب نت سئت: 49
ت را ا ى ٠ ى إذا وا ا صس ا رفا ف ا رىا I = f x. ا ى u. dv ح ١ ث u ذات v ذات آ س ف ١ ى ا ظرفا ج ظر ز ذفا داء ذات ١ : d u. v = u. dv + vdu ح ١ ث ٠ ى وراتر تا ى : u. dv = d u. v vdu تأ ر ذىا ا سف ١ حص ع ا ما : u. dv = u. v vdu ت ر ا س ٠ مح ى لد ا رم ا حعاب ا رىا.u dv ا ر ٠ ى عا ج ل ص تح األ ي إذا حع ا ا ر ١ از ا رات.u,v ١ I = x n. e ax. ذعر ر ا س ٠ مح و ١ سا ظ ١ ا ف ا حا خ ا ٢ ذ ١ ح: : إذا وا ا رىا ا ى : u = x n du = nx (n ). dv = e ax. v = a eax I = x. e x. u = x du = dv = e x. v = e x فس ان نت ا ون حعة ا رىا I = xe x e x. = xe x e x + x = x x + c اي : ان نت انث نيت: إذا وا ا رىا ا ى : x n. sin wx. ا x n. cos wx. u = x n du = n. x (n ). sin wx dv = cos wx. v = حعة ا رىا I = x. sin x. u = x du = cos x dv = sin x. v = I = x. sin x. = x cos x + cos x. w فس اي: = x cos x + sin x + c 50
I = x n. log x. ان نت انث نثت: إذا وا ا رىا ا ى : إذا وا ا صس ا رفا ٠ ر ذات ا ١ س عا.., arc sin x, logx وا رك ذات ا ثس ٠ ا ف ر ا حا ح فس u = log x du = x dv = x n. v = xn+ n + اي: حعة ا رىا : I = x. log x. u = log x du = x dv = x. v = x I = x. log x. = x log x x = x log x x x x + c = log x + c 4 حعة ا رىا I = x. arctg x. u = arctgx du = x²+ dv = x. v = x فس اي: فس I = x. arctg x. = x arctgx x². x²+ = x arctgx x²+ x²+ = x arctgx + x²+ = x arctgx x + arctgx + c ان نت انراب ت: إذا وا ا رىا ا ى : e ax. sin wx. ا e ax. cos wx. u = e ax du = a. e ax. dv = cos wx. v = sin wx حعة ا رىا : I = e x. cos x. u = e x du = e x. sin x dv = cos x. v = I = e x sin x. e x. sin x. w فس اي: فس 5
I = e x. sin x. u = e x du = e x. dv = sin x. v = cos x فس I = e x. sin x. = e x cos x. + I = e x sin x. cos x ex. + I 5 4 I = sin x ex. 4 ex. cos x I= 4 5. ex. sin x + 4 5. 4 ex. cos x + c e x. cos x. = I e x = 5 sin x + cos x + c I n = ان نت انخ م ت: إذا وا ا رىا ا ى : + x² n إل اش را ا رىا ا ٠ ع ت س ٠ مح ا رسا حعاب ا رىا ثد تحعاب I I = + x² = arctg x + c ذ ث ١ ك I n I n حر ص إ حعاب I n ع ا رىا ذ ه تئ ٠ ا عاللح ذستط ت ١ ظر ز ا ر صئح I n = + x² n u = ( n)x. du = + x² n + x² n dv = v = x x I n = + x² n + (n ) x². + x² n x = + x² n + (n ) x² + + x² n 5
= x + x² n + (n ) + x² n + x² n x = + x² n + (n ) I n I n I n = n 3 (n ). I n + x (n ) + x² إذ : + c n I 3 = 3 4 حعة ا رىا I 3 = + x² 3 I 3 =.3 3 (3 ). I x + (3 ) + x² = 3 4 I x + 4 + x² I =. 3. I x + + x = arctgx + x + x arctgx + x + x + x 4 + x² اي: إذ I 3 = x 4 + x² + 3x 8 + x + 3 arctgx + c 8 I = sin n x. Iا = cos n x. ان نت ان ت: إذا وا ا رىا ا ى : ف ر ا حا ح ٠ ىرة ا رىا تا ى cos x u = cos n x du = dv = cos x. v = فس اي : حعة ا رىا I = cos 3 x. I = cos x. cos x. u = cos x du = cos x. sin x. dv = cos x. v = sin x I = sin x. cos x + cos x. sin x. فس 53
= sin x. cos x + sin x. d sin x I = sin x. cos x + 3 sin3 x + c ت س ٠ مح ذ ١١ س ا رح ي I = sin² x. d sinx فس u = sin x du = cos x. I = u². du = u u + c = sin x sin 3 x + c 3 3 م ح ت : إل ٠ ا ف ١ ا ت ١ ا. ا رى الخ لد ذخر األ تح ىال تا رالف ا سق ا رث ح ى ر األ تح رىاف ح ان طمت انك ى ك مم اظرى اي ا ىعس ا ا ك f(x) g(x) مصد تا ىعس ا ا ك وعسا تع ما و ١ س حد س ص ب Ax+b ا ى x²+px+q r A ٠ ر د ف ا دز ح األ ع ذفس ٠ م إ وع ز تع ١ ح ا ى x a n ح ١ ث r n, عد ا ثا صح ١ حا. ٠ رس ف ا ىعس ا ا ٠ ى ما ا دز ح ا ا ١ ح )و ١ س حد ) ٠ مث ر زا حم ١ م ١ ح. ب ض ان ث انخ صت : I = k k + x k² I = = k I = : إذا وا ا رىا ا ى ان نت ا ون k + x ف ر ا حا ح ىرة ا رىا تا ى k + x k ² = k arctg x k + c ان نت انث نيت: إذا وا ا رىا ا ى x + px + q ح ١ ث ا ما ٠ مث ر زا حم ١ م ١ ح. 54
ف ر ا حا ح ١ سح ا مداز إلذ ا إ ست ع ست حد ٠ : وا ت د اإلصالح ٠ صثح ا ما ع ى = I = x + px + p p + q x + p + k /k² = q p ² du = u = x + p تا را فئ : du I = k + u = k arctg u k + c فس اي : حعة ا رىا : I = x x + 5 du = u = x I = x + 4 = arctg u + c = arctg x + c I = ان نت انث نثت: إذا وا ا رىا ا ى Ax + B x + px + q ح ١ ث ا ما ٠ مث ر زا حم ١ م ١ ح. فس du = x + p u = x + px + q du p x = تا ر ٠ ض د: du p A + B I = u ٠ ىرة را ا رىا تا ى 55
I = A du Ap + B u x + px + q I = A log x + px + q + B Ap x + px + q ا رىا ا ف ا سف األ ٠ مد عا ف ا حا ح ا ا ١ ح. I = x + x x + 5 اي: حعة ا رىا : فس + 5 x du + = x u = x du + + du I = = u u + 3 x x + 5 = log x x + 5 + 3 arctg x + c م ح ت : إذا وا ا ما x + px + q ف ا حا ر ١ ا ا ١ ح ا ا ح ٠ مث رز ٠ حم ١ م ١ فع س وال ا ىعس ٠ ٠ ح إ ع وعس ٠ ما و ا ا دز ح األ ٠ ص ذىا ا تع ح فر ك ر ن طك إن م ىع ى ب يطت. F(x) g(x) تا ر ٠ ض د: ١ ى ا ىعس ا ا ك رفس ٠ م إ ع وع ز تع ١ ح ف رفس ٠ م إ ع وع ز تع ١ ح, س إ را ا ىعس فئ وا د ل ج ا ثعط وثس ٠ عا ل ج ا ما فئ ا مع ا ثعط ع ا ما ٠ ىرة را ا ىعس تا ى : F(x) f(x) = Q x + g(x) g(x) ح ١ ث Q x حاص ا مع ح ( f(x ا ثال ذى ز ر ال ز ح ا ما تدز ح احدج ع األل. f(x) F(x) الحظ اظرى اي ا ىعس ٠ ؤ ي إ اظرى اي ا ىعس أل ذىا و ١ س ا حد ظ g(x) g(x) س ف. اي: حعة ا رىا : x 4 x 3 + I = x I = x 3 x = x3 x 56
األ ع ا ١ س ىسزج = x4 4 log x + c f(x) ى د ا رىا ٠ ة ح g(x) إ داء ع ا ا دز ح األ A عد g(x) ا دز ح ا ا ١ ح ١ ط ا ر ز حم ١ م ١ ح. ١ ص ا حا خ ا ٢ ذ ١ ح: ان نت ا ون : إذا وا د ع ا ا ما ١ ا ا دز ح A x a ٠ افم وعس تع ١ ط ا ى ح ١ ث اتد. x a اي :فسق ا ىعس إ ع وع ز تع ١ ح : x + 3 Y = x x x + x + 3 x x x + = A x + ٠ ىرة تا ى C x + B x + ت د ذ ح ١ د ا ما اخ ف ا سف األ ٠ ماز ح ا ثعط ا اذ ف ا سف األ ٠ عس إ ٠ ا ل ١ A = 3, B = 5, C = A, B, C 3 6 تعط ا سف األ ٠ Y = 3 x + 5 3 x 6 x + ان نت انث نيت: إذا وا د ع ا ا ما ١ ا ا دز ح األ ت ا ىسز ف ر ا حا ح و عا ا دز ح األ ىسز, n سج ٠ افك x a n ع n وعستط ا ا ى : A x a n + A x a n + + A n x a ح ١ ث, n,,a, A عدا اترح. x 3 + اي :فسق ا ىعس ا ٢ ذ إ ع وع ز تع ١ ح : x x 3 د ٠ ا x 3 + x x 3 = A x + B x 3 + C x + D x ب ذ ح ١ د ا ما اخ ف ا سف األ ٠ صاء ا ماز ح ا سف األ ٠ عس A =, B =, C =, D = : 57
x 3 + x x 3 = x + x 3 + x + x ان نت انث نثت: إذا وا د ع ا ا ما ا دز ح ا ا ١ ح ١ س ىسزج ٠ افك x² + px + r وعستط ا ى : Ax + B x + px + q اي : فسق ا ىعس ا ٢ ذ إ وع ز تع ١ ح : 4 x x 4 + 4 ٠ ىرة را ا ىعس تا ى : 4 x x 4 + 4 = A x + Bx + C x 4 + 4 ب ذ ح ١ د ا ما اخ ا ماز ح : A =, B =, C = 0 إذ : 4 x x 4 + 4 = x x x 4 + 4 ان نت انراب ت: إذا وا د ع ا ا ما ا دز ح ا ا ١ ح األ ت ا ىسز ف ر ا حا ح و عا ا دز ح ا ا ١ ح ىسز n سج ٠ افك x² + px + r n ع n وعستط ا ا ى : A x + B x² + px + r n + A x + B x² + px + r n + + A nx + B n x² + px + r اي : فسق ا ىعس ا ٢ ذ إ وع ز تع ١ ح: x 3 + x + x² + = Ax + B x + ² + Cx + D x + ب ذ ح ١ د ا ما اخ ا ماز ح : A =, B = 0, C =, D = x 3 + x + x x² + = x + ² + x + x + ان ثهثيت ك مم انتىابع ( اندائر ت( انطر مت ان مت : ١ ى ا رىا : f sin x, cos x, tg x فا س ٠ مح ا ا ح حعات ع ى ذىا وعس ا ك ذ ه تا ر ث ١ س ع ا عة ا ١ ح تد ح. tg x = dt +t² x = arctg t t = tg x فس 58
sin x = t +t² t², cos x =, tg x = +t² t² عرثدي ا عة ا ١ ح تم ١ ا حعة ا دظاذ ١ س: م ح ت : cosx x = arctgtg x, x = arcsin sin x, x = arccos اي: حعة ا رىا : I = sin x. + sin x = sin x + + sin x = + sin x x = arctg t, = dt +t² t = tg x فس I = x = x dt + t + t + t = x + t dt + t + t + t + t dt + t + t + t = x dt + t = x + + t + c = x + + tg x + c ان نت انث نيت: ا ى f sin² x, cos² x, tg² x, sin x cos x ا رىا x = arctg t t = tgx ف ر ا حا ح ثس ع ١ ا حد تد ح cos² x =, sin² x = tg²x +tg² x +tg² x : ا اي: حعة ا رىا : I = tg x. sin² x + 3 cos² x = dt x = arctg t t = tgx +t² cos² x =, sin² x = tg²x +tg² x +tg² x فس د ٠ ا I = t dt + t. + t 3 + t = t dt 3 + t = t + 3 3dt 3 + t 59
= dt 3 dt t² + 3 = t 3 3 arctg t 3 + c = tgx 3 3 arctg tgx 3 + c ء ان ك مم انتىابع.I الحظ : k x = x + k log k x k + c.. k + x = k arctg x k + c.. x k = x k log k x + k + c.. 3 ر ا رىا الخ ذع تا رىا الخ ا ١ سج. ا رىا ا ى : I = ax + bx + c ع ال ا حد ا ذحد إ ازج ا ر ز ٠ ى وراتر ع ى ع ست و ١ ر ١ فسق ست و ١ ر ١ را ١ ص زت ح حا خ :.II وإلنجازه انظر إلى العالقة رقم du إ ا ى k u أعاله. ) ب فس ز du وإلنجازه انظر إلى العالقة رقم أعاله إ ا ى u +k² ) ب فس ز :log u + k + c = I = du u+k : du u+k ² 3) ب فس ز إ ا ى وإلنجازه انظر إلى العالقة رقم 3 du إ ا ى u k أعاله 4) ب فس ز. ا رىا ا ى : Ax + B I = ax + bx + c ف ر ا حا ح ف س du ax + bx + c = u ax + b =.III 60
I = x. = du b A. + B a = A u a = A a. u + B Ab a A a du b a ax + bx + c + B Ab a du Ab + B u a ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c اظرخدا e x ظرى اي و رح ي ك مم انتىابع انمط يت ا ر ات ا م ١ ح عرف ١ د ظاذ ١ س ا اخ ا م ١ ح و ا عرف ١ د د ٠ د ف ت ض األح ١ ا. اي: حعة ا رىا : I = sx = dt t² x = arctg t t = tg x فس sx = t t² حعة ا دظر ز I = dt t². t² = t dt t = log t + c = log t x + c 6
ممي ش انر ي ث م ت ان ميد ان ا ر هيت هىو ا لت و انت يير ت ون LMD و انت ة ه هت 4. I x x I x )3 )6 * I : ( ذ ١١ س ا رح ي( حعة ا رىا الخ ا را ١ ح : x e log( x ) I ) * I * x tge x )5 * I x x 8 6 9x ر ) )4 I log( x ) )3 I x log x ر : حعة ا رىا الخ ا را ١ ح : )ا رىا تا ر صئح ) * ) I (x ) cos x * ) I Arctgx ) 6 3x I e cos x ). x Q ( x ) e.. )5 I(0) I x sin x ا س ا تردائ : 0 3 x I e :3 * )4 )7 ر حعة ا رىا الخ ا را ١ ح : )ا رىا ا ى. 3 x I (3x x x 4) e 5 4 3 x I (x 3x 5x x x ) e :4. ) ) ر ح ز ا ف اص ا عرم ١ ١ y x x 3 * حعة ا عاحح ا حص زج ت ١ ح ا رات. x 3 x y 5x 0x 3 y 4x 8x 7 حعة عاحح ا ع ح ا حص زج ت ١ ح ا رات *. x x 0 ا عرم ١ ١ زظ ا ى ا ث ١ ا ر ات ا را ١ ح لدز ا عاحح ت ١ ا ح ١ اخ ف ا فرسج ا حد ج: *. y x, y 3, x 0, x 5. I I x 3. x 4x 3 x 6. x( x 3) )3 ) 5. y 6 x, y x 8x, x 0, x 3 * 3. y x, y x, x 0, x 6 ( ذىا ذات وعس ) حعة ا رىا الخ ا را ١ ح : x I. ) * I x x x 4x 8 x 6 I() log : ا س ا تردائ I x( x 3)( x ) :5..3 ر ) * )4 * م ح ت : ا ر از ٠ ا ر ع ١ ا عال ح * ذرسن ثح. 6
ا فص ا سات ان ث انتف هيت المعادالت التفاضل ة من المرتبة األولى المعادالت التفاضل ة من المرتبة الثان ة 63
ث انتف هيت : ا ا خ ا ر ذح ع ذفا الخ رماخ ذىرة ع ا ى : y = x ا + 3 dy = x + 3.. y + xy + 5 ا = 0 d²y dy + x ² + 5 = 0.. مر بت ان نت انتف هيت: سذثح ع رمح ر ه فئ ا ا ح )( ذع ا ح ا رفا ١ ح ا سذثح األ ا ا ا ح )( ذع ا ح ذفا ١ ح ا سذثح ا ا ١ ح وال ا ا ر ١ ا ا دز ح األ. ت ان نت انتف هيت: ع ز ح ا ا ح ا رفا ١ ح ل ج ع زذثح رك ف ١ ا فا ا ح y ² = + y 3 ا ح ا رفا ١ ح ا دز ح ا ا ١ ح ا سذثح ا ا ١ ح. ح ا ا ح ا رفا ١ ح ٠ ة ىا ح ا ا ح عدج ساخ ر د ع سذثح ا ا ح ا رفا ١ ح ا ح ٠ حر ع اتد ١ س ٠ إ سذثح ا ا ح ا رفا ١ ح : ٠ ح ا ح ا ا ا ح ا رفا ١ ح عد ا ا اتد عا ٠ ا سذثح ا ا ح ا دز ظح. مث ل )( : ت ١ ا اللاخ ا ثس ٠ ح : ) y = e x ; ) y = 3x; 3) y = c e x + c x ح ١ ث c, c اتد. ح ي ا ح ا رفا ١ ح: 0 = y y x + y x ا ح : ) y = e x y = e x y" = e x إذ = 0 x e x x + e x x e تا را فئ ا ا ح )( ح ح ي ا ح ا رفا ١ ح )( ) y = 3x y = 3 y" = 0 إذ ا ا ح )( ح ح ي ا ح ا رفا ١ ح )( 3) y = c e x + c x y = c e x + c y" = c e x c e x x + c e x + c x c e x c x = 0 إذ ا ا ح )3( ح ح ي ا ح ا رفا ١ ح )(. مث ل( ( و ا ا ح ا رفا ١ ح ا ر ذمث : x ) y = cx² x; ) y = c x² + c ح ا. ا ح : ) y = cx² x y = cx c = y + x تر ٠ ض ل ١ ح c ف ا ا ح )( حص ع : y = y + x. x x y = y x + x x y x y x = 0 ا ا ح ا تح. 64. ان
) y = c x² + c x y = c x + c y" = c c = y" y, y =. y" x + c c = y y"x y = y" إذ. x² + y y"x x y = y"x² + y x y"x² y"x² y x + y = 0 ا ا ح ا تح.. حم ان نت انتف هيت م ان ر بت ا ون : A. إذا وا د ا ا خ ا رفا ١ ح ا سذثح األ ع ا ى : f x. g y + f x. g y dy = 0. () ح ر ا ا خ ٠ ة فص ا ر ١ ساخ ا ر ات ح و ع حد. فثمع ح ا ا ح )( ع ا مداز f x. g y حص ع f x f x. + g y g y. dy = 0 ح ا ا ح ا رفا ١ ح ٠ ة ىا ح و حد حد ا ع ا ى : f x f x. + g y g y. dy = c dy + +y 3 مث ل )(: ح ا ا ح ا رفا ١ ح :0 = xy +x + y 3. + xy + x. dy = 0 تمع ح سف ا ا ح ع x + x + y 3 حص ع y² + y 3 dy + x + x = 0 ب ىا ح اي سف ١ د y² + y 3 dy + x + x = 0 = k 3 log + A. y3 + x + Bx + C = k + x 3 log + y3 + log x log + x = k dy = cos ² y sin ² x 65 مث ل )(: ح ا ا ح ا رفا ١ ح : sin² x = dy tg y + cotg x = k cos² y B ف حا ح ا ح ا رفا ١ ح ا سذثح األ ر ا عح : N x, y. + M x, y. dy = 0 ى ا ص تح دا ا فص ت ١ ا ر ١ ساخ. x,y ف ر ايحا ح ع عy ت y = vx dy = v + xdv: vx.
ا ر ذح ي ا ا ح ا رفا ١ ح إ ا ح ا رفا ١ ح ر ا عح ٠ ع فص ر ١ ساذ ا. مث ل: ح ا ا ح ا رفا ١ ح : xy. dy = x y. ذ ابي ٠ ض ت dy = v + xdv y = vx إذ x vx. (v + xdv) = x v²x². 3x²v² x² + x 3 vdv = 0 x 3v + x 3 vdv = 0 x + v.dv x 3v حص ع = 0 3v² x + 3 3.v. dv 3v = c log x + 3 log 3v = c ب لع ح اي سف ١ ع ب ىا ح اي سف ١ د ذ ابي ٠ ض ع v د : log x + y² log 3 = log c 3 x² log x + [log 3y² x² log x² ] = log c 3 log x + log 3y² x² log x² = 3 log c 3xy² x 3 = k : ان ر بت ا ون ث انتف هيت م ح ث صت في حم ان ٠ ى ح ا تا سق ا رو زج ظاتما إذا وا د ا ا خ ا رفا ١ ح ا سذثح األ ا ر ا ع ا ع ) y = vx را ا ع ٠ ى فص ا ر ١ ساخ تع ح ع ت ( ا ا خ ا رفا ١ ح ٠ ىرة ع ا ص زج: f x. + f y. dy + f x. dy + f y. = 0 ح ر ا ا خ ا حد: 0 = f x. dy + f y. ثس ٠ ا ذع ر ا س ٠ مح تا رىا ا سوص ذىا ا حد ذ س ع ١ ح ا رىا حد. مث ل: ح ا ا ح ا رفا ١ ح : 0 = dy x + y + y 3 + x. x². + y. + y 3. dy + x. dy = 0 أ ر 0 = dy y. + x. x + dy y = 0 x + dy y = R log x + log y = log c log x. y = log c x. y = 0.. () x. + y 3. dy = c.i 66
x 3 x 3 3 + y 4 3 + y4 4 = c. () د + c + xy = 4 c = k (),( ) ث انتف هيت انخطيت :.II ان : dv u. dv إذا وا د ا ا خ ا رفا ١ ح ا سذثح األ ا ى : dy + p x. y = Q x. () ح ١ ث p, Q ذات ا عر سا رح ي ح ١ د. x ثحث ع ح ا ا ح ا ب ى () ;. v : y = u. ح ١ ث و,u v ذات رح ي x. y = u. v dy dv du رك ا رات : v. = u. + + v. du تا ر ٠ ض ف )( د: + p x. u. v = Q x u. dv du + p x. v + v. = Q x. (3) ا رات v ١ تح ١ ث ٠ حمك ا ا ح + p x. v = 0 dv = p x. v ت ىا ح ا سف ١ د : p x. log v = p x. = dv v. du du = ح ا ا ح تد سف ا v = e p x. Q x تا ر ٠ ض ف )3( د: = Q x du =. V x Q x V x. u = Q x V x. + c Q x تا ر ٠ ض ف )( د :y = V x.. + c V x = e p x. e p x.. Q x. + c ا ح ا ا ا ح ا رفا ١ ح. ع e p x. ت ا ا رىا. ان س ٠ مح ا ١ ح ح ا ا ح ا رفا ١ ح ا خ ١ ح ( ا را ح( dy + p x. y = 0 dy y log y = p x. + log c log y log c = p x. = p x. c اتد. 67
log y c = p x. y c = e p x. y = c. e p x.. (4) ا رثس c ر ١ سا تا عثح رح ي x س ا ٠ : dy = c. e p x. + c(c. e p x. ) د ل ١ ح c ع c تم ١ ر ف ا ا ح )4( ح ١ ر د ا ح ا ائ ا ح ا رفا ١ ح ا خ ١ ح )ا ا ح ا رفا ١ ح ا را ح(. مث ل: ح ت س ٠ مر ١ خر فر ١ ا ا ح ا رفا ١ ح : y y x + = x + 3 انطر مت ا ون : dy y x + = x + 3 () فس ح ا ا ح : () v y = u. y = u. v dy dv du = u. + v. u. dv du + v. 3 u. v = x + x + u. dv x +. v + v. du = x + 3 dv dv. v = 0 x + v = x + dv v = log v = log x + = log x + ² x + v = (x + )² v. du = x + 3 du = x + 3 (x + )² = x + du = x + u = x² إذ : c + x + y = u. v = x² dy انطر مت انث نيت : )² + (x + x + c y x + = 0 dy y = x + dy y = log y = log x + + log c x + 68
ا اتد ٠ عا. log y c = log x + ² + log c = log x + ² y = c x + ² تاعرثاز dy = c x + ² + c x + c ر ١ سا تا ر ٠ ض ف ا ا ح األص ١ ح د c x + ² + c x + x + ² = x + 3 x + dc = x + 3 = x + dc = (x + ) (x + )² c = x² إذ : k + x + y = x² + x + k (x + )² حم ان ث انتف هيت م ان ر بت انث نيت : ان عدج ص ز ىراتح ا ا ح ا رفا ١ ح ا سذثح ا ا ١ ح : ان نت ا ون : إذا وا د ا ا خ ا رفا ١ ح ذىرة ع ا ص زج : y" = d²y ² = f(x) ح ا ا ح ا رفا ١ ح ىا ا ا ح سذ ١ ٠ ة ا حص ي ع عد مث ل: ح ا ا ح ا رفا ١ ح : d²y ² = xex + cos x d dy = xe x + cos x d dy d dy = xex + cos x = xex + cos x dy = xex. + cos x. = xe x e x + sin x + c dy = xe x e x + sin x + c dy = xe x. e x. + sin x. + c y = xe x e x e x cos x + c x + c ع ا ى : y = e x x cos x + c x + c ان نت انث نيت : إذا وا د ا ا خ ا رفا ١ ح ا سذثح ا ا ١ ح 69
d²y ² = f(x, dy ) ح ر ا ا خ فس dy dy d = p = dp ان حا خ س ح ا ا خ ا رفا ١ ح ا سذثح ا ا ١ ح : F(x, y, y, y") = 0 ) إذا وا د ا ا ح ا رفا ١ ح ا سذثح ا ا ١ ح ع ا ى (0 w) "y w²y =,0 فئ ح ر ا ا ح : wx y = c e wx + c e ح ١ ث c, c اتد. مث ل: 0 = 4y w = w = 4 y" y = c e x + c e x إذ : ) إذا وا د ا ا ح ا رفا ١ ح ا سذثح ا ا ١ ح ع ا ى (0 w) "y + w²y =,0 فئ ح ر ا ا ح : wx y = c cos wx + c sin ح ١ ث c, c اتد. مث ل: ح ا ا ح ا رفا ١ ح: = 0 6y "y + w = 4 w = 6 y = c cos 4x + c sin 4x 3 )إذا وا د ا ا ح ا رفا ١ ح ا سذثح ا ا ١ ح ع ا ى : = 0 b y" + ay + ح ١ ث a,b عدا اترح. ف ر ا حا ح ح ا ا ح 0 = b m² + am + د ا ١ ص ح ١ ث 4b = a² الحظ ا إذا وا : > 0 ٠ د رز ٠ m, m ا ح () ٠ ى ا ح وا ٢ ذ : y = c e m x + c e m x ٠ د رز اع () ٠ ى ا ح وا ٢ ذ : ا ح = 0 ا ح () ٠ ى m = m, y = e m x c x + c < 0 ٠ د رز ٠ m = α iw, m = α + iw ا ح وا ٢ ذ : y = e αx c cos wx + c sin wx مث ل: ح ا ا ح ا رفا ١ ح 0 = 5y : "y + y + = 4 0 = 6 < 0 y = e x c cos x + c sin x 70
ممي ش انر ر ا م ت ان ت ون و انت يير هيت هىو ا لت ة و انت ي ث LMD ه هت 5 ر : * ح ا ا خ ا رفا ١ ح ا را ١ ح : a) * dy = x y, b) * dy = y x, c) * dy = y x+, d) dy +y = 0, e) dy = +x xy ر : ح ا ا خ ا رفا ١ ح ا را ح ا را ١ ح : a) * y + y = e x, b) y + xy = 3xe x, c) y ycosx = (x + cosx)e sinx d) * y y = (x + )3 x+ ر 3: ح ا ا خ ا رفا ١ ح ا سذثح ا ا ١ ح ا را ١ ح :. d y 4 dy 5y = 0.. y + y + y = 0.. y 6y + 8y = 0 *.3. y + 9y = 0 *.4 ر 4: و ا ا خ ا رفا ١ ح ا ر ذمث ا ا خ ا را ١ ح ح ا :.. y = cx +. xy = x 3 c y = cx + c * y = c e x + c e x *. y = c x + c x 3...3.4.5 م ح ت: األظ ح ا ر ع ١ ا * ذرسن ثح. 7
ا فص ا خا ط ان تت ني ث و ان م المتتال ات الحساب ة و الهندس ة السالسل الحساب ة و الهندس ة السالسل العدد ة ذات الحدود الموجبة معا ر التقارب مع ار المقارنة مع ار دالمب ر مع ار كوش 7
المتتال ات IN U n ر ف: ع ررا ١ ح عد ٠ ح و ذ ث ١ ك )ا صء )IN I ح.IR نرمز عادة لمتتال ة ب : n 0 U n او اختصارا. U n. U n سم الحد U n بالحد العام للمتتال ة ا ح:. ال ك بعض العبارات الت تعرف متتال ات: U n = n; U n = n n + ; U n = n 3; U n = n +. لد نا a( الحد من المرتبة 0 ل 0 n n 3 هو 3 الحد الرابع هو 3 )الحد من المرتبة 3( هو 0 p 3n p 0 3 هو و ل هو p 3 n n p 3n n b( الحد الثالث ل c( الحد االول ل ا ه غير متت نيت: نقول عن متتال ة U n انها متزا دة )متناقصة على الترت ب ) اذا كان n+ n IN; U n U n+ ( n IN; U n U على الترت ب( ا ح: المتتال ة التال ة.,,,,,, متناقصة تماما. 3 4 n n ; U n+ U n = = لد نا : 0 < n+ n n n+ متزا دة المتتال ة متناقصة. n+ n. n n ; U n+ < U ومنه : n غ ر رت بة المتتال ة المتتال ة. ان تت ني ث ان دو ة: 73
: نقول عن متتال ة U n انها محدودة من االعلى اذا وجد عدد حق ق M IR بح ث n IN; U n M U n U n نقول عن متتال ة نقول عن متتال ة انها محدودة من االسفل اذا وجد عدد حق ق m IR بح ث : n IN; U n m محدودة اذا كانت محدودة من االعلى و من االسفل أي: n IN; m U n M n 3 n محدودة من االسفل ب و من االعلى ب 3 اذن ه متتال ة محدودة 0 n n + n ه محدودة من االسفل ب و لكن ل ست محدودة من االعلى. ا ح: المتتال ة المتتال ة.. ان تت ني ث ان تم بت: المتتال ة U n متقاربة نحو α IR اذا كان ε > 0, n 0 IN: n n 0, U n α < ε و نكتب: limu n = α إذا وا د ررا ١ ح ١ عد رمازتح ف رثاعدج. الح اخ: اذا وجدت نها ة متتال ة فه وح دة. كل متتال ة متقاربة محدودة. ان تت ني ث ان بيت: )a )b : U n نسم متتال ة حساب ة ذات االساس r كل متتال ة تحقق n IN; U n+ = U n + r عبارة الحد العام:. U n = U 0 + nr مجموع n حد االول للمتتال ة : 74
n k=0 U k = n u 0 + u n = nu 0 + r n n ا ح: المتتال ة U n المعرفة ب + 3 n U 0 =, n IN; U n+ = U و المتتال ة V n المعرفة ب n IN; V n = 4 5n ه متتال ات حساب ة. k = 00 المجموع + 00 + 3 + + هو = 00 + 00 K= 5050 )a )b ان تت ني ث انه د يت: U n متتال ة هندس ة اذا وجد عدد حق ق غ ر معدوم q بح ث q n IN; U n+ = qu n سم اساس المتتال ة. عبارة الحد العام:.U n = U 0 q n a, b IR بح ث: حت تكون متتال ة U n هندس ة لزم و كف ان وجد n IN; U n = ab n ل N p+n k=p المجموع U k ذات االساس هو حد متتابع p+n U P,, U لمتتال ة هندس ة q U P + + U p+n = U N P q q q U n ا ح: المتتال ة U n المعرفة ب U 0 = 3, n IN; U n+ = 5U n و المتتال ة V n المعرفة ب n IN; V n = 3 n ه متتال ات هندس ة. )a 0 K=0 k = + + + + 0 = = 047 )b 75
ا عالظ : ر ف : U n لتكن n 0 U n المعرفة ب متتال ة حق ق ة السلسلة ذات الحد العام ه المتتال ة S n n IN S N = U 0 + U + + U N, N IN و رمز لها ب n 0 U n او U n.u n سم المجموع الجزئ من المرتبة N للسلسلة ذات الحد العام S N م ب ه هت:. S n نقول عن السلسة U n انها متقاربة اذا كانت متتال ة المجام ع الجزئ ة متقاربة S = + n=0 U n سم العدد lim + S n = S بمجموع السلسلة و نرمز له ب أي S = U 0 + U + U + + U n + الح اخ :. نقول عن سلسلة غ ر متقاربة انها متباعدة. قصد بدراسة طب عة سلسلة دراسة تقاربها من تباعدها )a )b ا ح: U n ذات الحد العام السلسلة U n = n لتكن المتتال ة U n المعرفة ب الن المجموع الجزئ للسلسلة: ه المتتال ة S N = U 0 + U + + U N = 0 + + + N = U n = n n+ N N+. n n+ n IN لندرس طب عة السلسلة المعرفة بحدها العام المتتال ة لد نا : بح ث N n نع ن طب عة = n k= S n = U + U + + U n = n k k + = k k + = k= S n )a )b 76
= + 3 + + n n + = n + اذن = n lim + S اي ان السلسلة U n متقاربة و مجموعها + n=0 U n =. انشرط ان زو نهتم ب: lim + U n = 0 اذا كانت السلسلة U n متقاربة فان و منه : U n اذا كانت 0 n lim + U فان متباعدة. اي : + + 3 + 4 + = n 3 4 5 n lim + U n = lim n n+ لتكن السلسلة: هذه السلسلة متباعدة الن: = 0 n+ ان ه هت انه د يت: نسم سلسلة هندس ة السلسلة ذات الحد العام aq n الحد العام لمتتال ة المجام ع الجزئ ة S N = N n=0 aq n = a qn+ q q < تكون aq n متقاربة اذا وفقط اذا كان lim + S n = S = a q و مجموعها: هي ث هي ان م: لتكن السلسلت ن و λ و ل كن العدد الحق ق V n U n اذا تقاربت السلسلتان و فان السلسلة U n + V n متقاربة و لد نا V n U n ) n 0 U n + V n = n 0 U n + n 0 V n 77
λu n اذا تقاربت السلسلة U n فان السلسلة متقاربة و لد نا: ) λu n = λ U n n 0 n 0 V n اذا تقاربت السلسلة U n U n + V n متباعدة. وكانت السلسلة متباعدة فان السلسلة )3 الح ح:. V n اذا كانت السلسلتان U n و متباعدت ن فال مكن البت ف طب عة السلسلة U n + V n ح: السلسلة 3 n متقاربة ه جداء السلسلة الهندس ة المتقاربة بالعدد الحق ق 3. متباعدتان ف ح ن السلسلة U n + V n متباعدة. n U n فان السلسلت ن V و U n = n = من اجل n n U n + V n متقاربة )مجموعها معدوم( من اجل = n U n = و V فان السالسل n n ان م ذاث ان دو ان ى بت: V n و V n و U n )a )b )c n 0 ; U n 0 : ظ ع ح ذاخ حد ثح ا U n : ن ر ت تكون السلسة U n ذات الحدود الموجبة متقاربة اذا وفقط اذا كان S n n IN المجام ع الجزئ ة محدودة من االعلى. متتال ة.α IR n α ه هت ن: نسم سلسلة ر مان السلسلة ذات الحدود الموجبة بح ث.α > السلسلة n α متقاربة اذا وفقط اذا كان من اجل = α السلسلة المتباعدة تسم سلسلة توافق ة. n ن ر ت ان م نت: 78